ANALYSIS 02 · CROSS-ADMIT MATRICES, MULTI-MODEL BT & RESIDUALS

美国大学交叉录取数据分析与多模型对比

本页汇总大学偏好排名背后的分析数据：(1) 20×20 交叉录取实测胜率矩阵；(2) 分档加权 BT (h=1.0)、普通 BT (h=∞)、样本封顶 BT (n≤50) 与旧表 BT 四模型完整对照；(3) 早年手工表 vs 新抓取数据 95 校对比；(4) 实测胜率偏离一维 BT 模型最大的对决残差表。

97校

综合大学 (69) · 文理学院 (28)

3,350组对决

新抓取有效对 · 旧表 2,009 组对决

292,956人次

Wilson 置信区间反推共同录取总样本

h = 1.0

5 折交叉验证最优高斯核带宽 (λ = 0.5)

01交叉录取实测胜率矩阵 (Cross-Admit Matrix)

单元格 (行 i, 列 j) 为同时被两校录取学生选择行校 i 的百分比 · 斜体为无实测样本时的模型预测值 · 点击单元格跳转至双校对决

02四种 Bradley-Terry 模型设定对比全表 (97 校)

对比分档加权 (h=1.0)、无核加权普通 BT (h=∞)、单组样本上限封顶 (n≤50, h=0.6) 与早年手工表 (n=40, h=0.6)

03早年手工对决表 vs 新抓取数据：95 校完整对比

两份数据集共有的 95 所院校统一按每组 n = 40、Beta(2,2) 收缩拟合分档加权 BT 模型

新旧数据名次散点图 (95 校)

旧表 2,009 组 vs 新数据 3,350 组

综合大学文理学院虚线：old_rank = new_rank

04实测胜率 vs 全局模型预测：最大残差对决表 (n ≥ 30)

筛选反推样本量 n ≥ 30 的院校对，按 |实测胜率 − 模型预测胜率| 排序（反映一维全局实力分无法捕捉的地域、本州学费或学科偏好差异）

05模型方程与四模型设定对照表

Wilson 区间样本量反推、高斯核加权极大似然与交叉验证超参数

步骤	数学公式与数值实现
1. Wilson 区间反推 (k, n)	已知公布胜率 p₀ (整数%) 与 95% 区间 [L₀, U₀] (z=1.95996)，在 n ∈ [1, 10000] 内枚举 k = round(p₀·n)，计算 Wilson 上下界 (L(k,n), U(k,n))，取误差 \|L−L₀\| + \|U−U₀\| + 0.5\|k/n−p₀\| 最小者 (例如 Harvard vs Yale: 62% [57.3%–66.5%] → n=424)。
2. Bradley-Terry 概率	P(i ≻ j) = σ(θ_i − θ_j) = 1 / (1 + exp(−(θ_i − θ_j)))，满足约束 ∑_i θ_i = 0。分差 Δθ = 0.5, 1.0, 2.0 对应胜率 62.2%, 73.1%, 88.1%。
3. 高斯核分档加权似然	L(θ) = ∑_{(i,j)} w_{ij} [k_{ij} ln P(i ≻ j) + (n_{ij} − k_{ij}) ln(1 − P(i ≻ j))] − (λ/2) ∑_i θ_i²，其中核权重 w_{ij} = exp(−(θ_i − θ_j)² / 2h²) 随外层迭代更新至 max\|Δθ\| < 10⁻⁶。
4. 协方差与自举名次区间	收敛后取负 Hessian 逆矩阵 Σ = (−H)⁻¹，标准误 SE_i = √Σ_{ii}；从多元正态分布 N(θ, Σ) 抽取 2,000 组样本并排序，取 2.5% 与 97.5% 分位数作为 95% 名次区间 [rank_lo, rank_hi]。

模型名称	核带宽 h	样本权重设定	输出文件与脚本
分档加权 BT (主表)	h = 1.0 (5折CV)	Wilson 反推原始 n_{ij}，λ = 0.5	wbt_ranking.csv · weighted_bt.py
普通 BT (无核加权)	h = ∞ (w_{ij}=1)	Wilson 反推原始 n_{ij}，λ = 0.5	bt_ranking.csv · bradley_terry.py
样本封顶 BT (Cap-50)	h = 0.6 (5折CV)	n'_{ij} = min(n_{ij}, 50), k'_{ij} = p_{ij}·n'_{ij}	wbt_cap50_ranking.csv
旧手工表 BT	h = 0.6 (5折CV)	每组固定 n = 40，胜率经 Beta(2,2) 收缩	old_sheet_bt_ranking.csv · old_sheet_bt.py
新旧等权对比 (95 校)	h_old=0.6, h_new=1.0	共有 95 校统一按 n = 40 + Beta(2,2) 拟合后标准化为 Z 分数	old_vs_new_risers.csv · compare_old_new.py